Кратчайший курс школьной математики

[1. Числа, буквы ноты и действия с ними]

[1.1. Числа]

Цифры и Число это одно и тоже?
Нет, цифры это числовые символы, арабские, римские и т.д. А числа используются для описания количественных характеристик, сравнения, нумерации объектов и их частей.

Числа

Цифры - это числовые символы при помощи который записываются числа.

Исторически первыми числами были натуральные числа, для подсчета людей, кур, овец, монет и т.д.

Для краткости множесто натуральных чисел ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, \dots}$ обозначают буквой $N$ .

Римский вариант натуральных чисел ${I, II, III, I V, V, V I, V II, V III, I XX}$

Иногда к множеству натуральных чисел относят ноль: $0 \in N$

Значок $\in$ символизирует принадлежность к множеству.

Элементы произвольного множества принято записывать в ${}$ фигурных скобках.

Если множество не содержит элементов, то его называют пустым и обозначают символом $\emptyset$ .

Если к множеству $N$ присоеденить ноль и те-же отрицательные числа (с противоположным знаком), ты мы получим множество целых чисел $Z$ .

$Z = {\dots, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, \dots}$ $Z = {0, \pm 1, \pm 2 \pm 3, \dots}$

Натуральные числа являются подмножеством множества целых чисел $N \subset Z$ ( $\subset$ знак включения).

Признаки делимости числа {#признаки-делимости-числа noter_page=“(4 . 0.8329201784828953)”}

целое число делится на 2 без остатка, если оно заканичается на 0, 2, 4, 6 или 8 (четное число)
целое число делится на 3 без остатка, если сумма входящих в него цифр делится на 3.
целое число делится на 5, если оно заканичается пятеркой или нулем.
целое число делится на 10, если оно заканичается на 0. для того чтобы разделить на 10 нужно просто убрать 0, на 100 два нуля, на 1000 три нуля и т.д.

Рациональные числа {#рациональные-числа noter_page=“(5 . 0.4372830937035201)”}

Дале идет множетсво рациональных чисел.

$Q = {\frac{m}{n} ∣ m \in Z, n \in N}$

Любое рациональное число можно представить как обыкновенную дробь $\frac{m}{n}$ с целым числителем (верхнее число) и натуральным знаменателем (нижнее число).

Рис. Привильная дробь на примере разделения торта.

Правильная дробь - эта та у которой числитель меньше знаменателя. Правильная дробь обязательно меньше еденицы.

Если взять все куски торта (или дополнительно добавить еще куски), то мы получим неправильную дробь, например $\frac{10}{10}$ , $\frac{7}{4}$ .

Дроби с целой и дробной частью (например $1 \frac{3}{4}$ ) называют смешанными.

Опознавательные знаки рациональных чисел {#опознавательные-знаки-рациональных-чисел noter_page=“(6 . 0.06246901338621715)”}

при делении числителя на знаменатель получается

целое число $\frac{- 3}{1} = - 3$
конечная десятичная дробь $\frac{3}{8} = 0.375$
бесконечная периодическая десятичная дробь (повтор может начаться не сразу) $\frac{7}{11} = 0.6363636363 \dots$

Аксиома - все действия выполняем в дробях {#аксиома---все-действия-выполняем-в-дробях noter_page=“(6 . 0.29152206246901335)”}

В высшей математике все действия стремимся выполнять в обыкновенных (правильных и неправильных) дробях, НЕ в десятичных

Иррациональные числа {#иррациональные-числа noter_page=“(6 . 0.4372830937035201)”}

Следущее множество - это множество иррациональных чисел, каждое такое число представлено в виде бесконечной НЕПЕРИОДИЧЕСКОЙ десятичной дроби.

Примеры таких чисел:

import math
 
print(f"sqrt(2) \t {math.sqrt(2):.50f}...")
print(f"pi \t\t {math.pi:.50f}...")
print(f"e \t\t {math.e:.50f}...")
print(f"golden \t {(1 + 5 ** 0.5) / 2:.50f}...")

Правило округления дробей {#правило-округления-дробей noter_page=“(6 . 0.6246901338621715)”}

Округление десятичных дробей - допустим мы округляем до некоторого знака 1,33333333333336789999999 ^ округляем до этого знака (до 12 знака после запятой)

Нам нужно посмотреть на следующий разряд, если там 0,1,2,3,4 ДО 5, округляем в меньшую сторону ( +0 к 12 знаку ), иначе (5, 6, 7, 8, 9) в большую сторону (+1 к 12 знаку).

Проверка, должно получится 1,333333333333

print("in  1.333333333333")
print(f"out {round(1.33333333333336789999999, 12)}")
 
print("in  1.36")
print(f"out {round(1.356, 2)}")

Смотрим на N+1 знак если < 5 +0, иначе +1

Действительные числа {#действительные-числа noter_page=“(6 . 0.8120971740208229)”}

Объединение рациональных и иррациональных чисел образует множество действительных (вещественных) чисел: $Q \cup I = R$ ( $\cup$ - значок объединения множеств).

#+DOWNLOADED: screenshot @ 2022-01-29 01:00:29

TODO: Рис. - Пример геометрической интерпретации множества $R$ (действительных чисел).

Каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой прямой, и наооборот - каждой точке числовой прямой соответсвует действительное число.

Числовая прямая (ось) {#числовая-прямая-ось noter_page=“(7 . 0.10411502231036192)”}

#+DOWNLOADED: screenshot @ 2022-01-29 12:24:32

TODO: Рис. -

Числовая ось обозначается буквами $OX$ , где $O$ это 0 (совмещено с нулем). Точка $O$ называется началом координат.

Здесь $x$ принадлежит множеству действительных чисел ( $x$ - действительное число). $x \in R$ ; $x \in (- \infty; + \infty)$

Числовую прямую такаже обозначают бесконечным интервалом $- \infty; + \infty$ .

Числовые промежутки {#числовые-промежутки noter_page=“(7 . 0.3956370847793753)”}

#+NAME: числовые промежутки

Числовые промежутки - множество чисел соответствующее числовому промежутку (интервалу). Виды числовых промежутков:

TODO: img

Круглая скобка означает что крайнее значение не входит в промежуток, а квадратная что входит. Соответственно так-же обозначаются на графике в виде выколотых или закрашенных точках.

Модуль числа {#модуль-числа noter_page=“(7 . 0.6871591472483887)”}

Модуль или абслютное значение числа - это его расстояние от начала координат. Так как расстояние не может быть отрицательным, то модуль любого числа $\geq 0$ . Модуль “уничтожает” возможный знак “минуса”.

#+DOWNLOADED: screenshot @ 2022-01-29 10:50:00

TODO: img

$∣ - 4∣ = 4$ , $∣0∣ = 0$ , $∣2∣ = 2$

Числа, равные по модулю (напрмер, $4$ и $- 4$ ) называются противоположными, так-как они равноудалены от начала координат (от нуля).

Расстояние между двумя числами равно модулю их разности, например, получается что расстояние можно измерить с любого числа: $5 - 3 = ∣5 - 3∣ = ∣2∣ = 2$ , $3 - 5 = ∣3 - 5∣ = ∣ - 2∣ = 2$

Буквы {#буквы noter_page=“(8 . 0.10411502231036192)”}

Буквы - переменные велечины, используются для записи формул, функция и математических фактов в общем виде.

При помощи букв можно определять [числовые промежутки]{.spurious-link target=“числовые промежутки”}.

Интервал $(a; b)$ , здесь $a$ и $b$ - произвольные действительные числа. При этом $a < b$ . Полуинтервалы $[a; b)$ , $(a; b]$ - произвольные действительные числа. При этом $a < b$ . Отрезок $[a; b]$ - тут уже допустимо строгое неравенство $a \leq b$ . При этом если $a = b$ , то отрезок вырождается в точку и имеет нулевую длину.

Формулы {#формулы noter_page=“(8 . 0.35399107585523054)”}

- [1.2. Буквы]
- [1.3. Арифметические действия]
- [1.4. Порядок действий]
- [1.5. Действия с обыкновенными дробями]
    - [ Сокращение дробей]
    - [ Как перевести десятичную дробь в обыкновенную?]
    - [ Умножение дробей]
    - [ Деление дробей]
    - [ Сложение дробей]
    - [ Как приводить дроби к общему знаменателю?]
- [1.6. Одночлены, многочлены и другие члены]
    - [ Приведение подобных слагаемых]
    - [ Как перемножать суммы?]
    - [ Формулы сокращенного умножения]
    - [ Как представить сумму в виде произведения?]
- [1.7. Свойства степеней и корней]
- [1.8. Прогрессии]
    - [ Арифметическая прогрессия]
    - [ Геометрическая прогрессия]

[2. Уравнения и неравенства]
- [2.1. Понятие уравнения. Простейшие примеры]
- [2.2. Преобразование уравнений]
- [2.3. Квадратное уравнение]
- [2.4. Неравенства]
- [2.5. Действия с неравенствами]
- [2.6. Метод интервалов]
- [2.7. Уравнения и неравенства с модулем]
- [2.8. Понятие системы]
- [2.9. Уравнения и неравенства с несколькими переменными]
[3. Функции и графики]
- [3.1. Понятие функции]
- [3.2. График функции в декартовой системе координат]
- [3.3. Линейная функция]
- [3.4. СтепеннАя функция]
- [3.5. Графическое решение уравнений и неравенств]
- [3.6. Показательная функция]
- [3.7. Логарифмы и логарифмическая функция]
  - [ Понятие логарифма]
  - [ Свойства логарифмов]
  - [ Логарифмирование и потенцирование]
  - [ Логарифмическая функция и её график]
  - [ Уравнения и неравенства с логарифмами]
[4. Чуть-чуть геометрии]
- [4.1. Элементарные геометрические фигуры]
- [4.2. Треугольники]
  - [ Равнобедренный треугольник]
  - [ Равносторонний треугольник]
  - [ Прямоугольный треугольник и теорема Пифагора]
  - [ Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла]
  - [ Подобные треугольники]
- [4.3. Четырехугольники]
- [4.4. Окружность и круг]
- [4.5. Основные пространственные фигуры]
[5. И немного тригонометрии]
- [5.1. Об угле подробно]
- [5.2. Определение синуса, косинуса, тангенса через единичную окружность]
- [5.3. Тригонометрические функции]
- [5.4. Периодичность и взаимосвязь функций. Формулы приведения]
- [5.5. Распространённые тригонометрические формулы]
- [5.6. Обратные тригонометрические функции]
- [5.7. Простейшие тригонометрические уравнения]
- [5.8. Тригонометрические неравенства]
[Решения и ответы]

Inom Turdikulov